kaoyan3basic 高等数学 第110题
📝 题目
### 第110题 110 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\int_0^1 dy\int_{\sqrt{y}}^{3-2y} f(x,y)dx$ **解析**： 原积分区域： 第一部分：$0\leq x\leq 1$，$0\leq y\leq x^2$，即$y\leq x^2$，$x\geq \sqrt{y}$，且$0\leq x\leq 1$，$0\leq y\leq 1$。 第二部分：$1\leq x\leq 3$，$\displaystyle 0\leq y\leq \frac{1}{2}(3-x)$，即$\displaystyle y\leq \frac{3-x}{2}$，$x\leq 3-2y$，且$1\leq x\leq 3$，$0\leq y\leq 1$。 合并区域：$0\leq y\leq 1$，$x$从$\sqrt{y}$到$3-2y$。 故交换次序为$\int_0^1 dy\int_{\sqrt{y}}^{3-2y} f(x,y)dx$。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定积分区域
原积分区域由两部分组成：第一部分：0≤x≤1，0≤y≤x²；第二部分：1≤x≤3，0≤y≤(3-x)/2。画出区域图，发现区域在y方向从0到1，x方向由曲线x=√y和直线x=3-2y围成。
提示：注意边界曲线：y=x² 即 x=√y；y=(3-x)/2 即 x=3-2y。
步骤 2/2
目标：交换积分次序
将积分次序改为先x后y：对于固定的y∈[0,1]，x从左边曲线x=√y到右边直线x=3-2y。因此交换后的积分为∫₀¹ dy ∫_{√y}^{3-2y} f(x,y) dx。
公式：∫₀¹ dy ∫_{√y}^{3-2y} f(x,y) dx
提示：交换次序时，要正确写出x的上下限，注意y的范围是0到1。
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