kaoyan3basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 第4题 4． $\int_{1}^{\mathrm{e}} \ln x \mathrm{~d} x=$ （A）e． （B） 0 ． （C） 1 ． （D） $\mathrm{e}+1$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$\int_1^e\ln x\,dx=[x\ln x-x]_1^e$。步骤2：代入得$(e\cdot1-e)-(0-1)=1$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算定积分 ∫₁ᵉ ln x dx
使用分部积分法，令 u = ln x, dv = dx，则 du = (1/x) dx, v = x。于是 ∫ ln x dx = x ln x - ∫ x * (1/x) dx = x ln x - x + C。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：分部积分法适用于被积函数为两个函数乘积的情形，这里将 ln x 视为 u，dx 视为 dv。
步骤 2/2
目标：代入上下限计算定积分
将上下限代入原函数：∫₁ᵉ ln x dx = [x ln x - x]₁ᵉ = (e·ln e - e) - (1·ln 1 - 1) = (e·1 - e) - (0 - 1) = 0 - (-1) = 1。
公式：定积分基本公式：∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)
提示：注意 ln e = 1，ln 1 = 0，计算时细心避免符号错误。
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