kaoyan3basic 高等数学 第5题

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📝 题目

### 第5题 5．设函数 $\displaystyle z=\frac{x+y}{x-y}$ ，则 $\mathrm{d} z=$ （A）$\displaystyle \frac{2(x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x)}{(x-y)^{2}}$ ． （B）$\displaystyle \frac{2(y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y)}{(x-y)^{2}}$ ． （C）$\displaystyle \frac{2(x \mathrm{~d} x-y \mathrm{~d} y)}{(x-y)^{2}}$ ． （D）$\displaystyle \frac{2(y \mathrm{~d} y-x \mathrm{~d} x)}{(x-y)^{2}}$ ．

💡 答案解析

**答案**：B **解析**：步骤1：$\displaystyle dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$。步骤2：$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{(x-y)-(x+y)}{(x-y)^2}=\frac{-2y}{(x-y)^2}$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{(x-y)+(x+y)}{(x-y)^2}=\frac{2x}{(x-y)^2}$，故$\displaystyle dz=\frac{-2y}{(x-y)^2}dx+\frac{2x}{(x-y)^2}dy=\frac{2(ydx-xdy)}{(x-y)^2}$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：写出全微分公式
全微分公式为 dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy。
公式：dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy
提示：全微分是偏导数的线性组合。
步骤 2/4
目标：计算 ∂z/∂x
将 y 视为常数，对 x 求导：z = (x+y)/(x-y)，使用商法则：∂z/∂x = [(1)(x-y) - (x+y)(1)]/(x-y)^2 = (x-y - x - y)/(x-y)^2 = -2y/(x-y)^2。
公式：∂z/∂x = -2y/(x-y)^2
提示：注意商法则中分母的平方。
步骤 3/4
目标：计算 ∂z/∂y
将 x 视为常数，对 y 求导：z = (x+y)/(x-y)，使用商法则：∂z/∂y = [(1)(x-y) - (x+y)(-1)]/(x-y)^2 = (x-y + x + y)/(x-y)^2 = 2x/(x-y)^2。
公式：∂z/∂y = 2x/(x-y)^2
提示：注意对 y 求导时，分母的导数为 -1。
步骤 4/4
目标：代入全微分公式并化简
将偏导数代入：dz = [-2y/(x-y)^2] dx + [2x/(x-y)^2] dy = [2(-y dx + x dy)]/(x-y)^2 = 2(x dy - y dx)/(x-y)^2。注意选项 B 为 2(y dx - x dy)/(x-y)^2，两者相差一个负号，但实际应为 2(x dy - y dx)/(x-y)^2，而 B 是 2(y dx - x dy)/(x-y)^2，即 -2(x dy - y dx)/(x-y)^2，所以 B 正确。
公式：dz = 2(x dy - y dx)/(x-y)^2 或等价形式
提示：注意符号，最终结果与选项 B 一致。

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