kaoyan3basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 第6题 6．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{n} x^{n}}{3^{n} n!}$ 的收敛半径 $R=$ （A）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{3}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{2}$ ． （C）$\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}$ ． （D）$\displaystyle \frac{3}{\mathrm{e}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)!}\cdot\frac{3^n n!}{n^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^n}{3n^n}=\frac{1}{3}\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=\frac{e}{3}$。步骤2：收敛半径$\displaystyle R=\frac{3}{e}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算系数比值的极限
计算极限 lim_{n→∞} |a_{n+1}/a_n|，其中 a_n = n^n/(3^n n!)。代入得 lim_{n→∞} ((n+1)^(n+1)/(3^(n+1)(n+1)!)) * (3^n n! / n^n) = lim_{n→∞} (n+1)^n/(3 n^n) = (1/3) lim_{n→∞} (1+1/n)^n = e/3。
公式：lim_{n→∞} (1+1/n)^n = e
提示：注意幂指函数极限的处理，利用重要极限。
步骤 2/2
目标：求收敛半径
收敛半径 R = 1 / (lim_{n→∞} |a_{n+1}/a_n|) = 1/(e/3) = 3/e。
公式：R = 1/ρ，其中 ρ = lim_{n→∞} |a_{n+1}/a_n|
提示：当极限存在时，收敛半径公式直接应用。
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