kaoyan3basic 高等数学 第121题
📝 题目
### 第121题 121 设有下列命题 （1）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛（即存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ），则 $x_{n}$ 有界。 （2）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$ ．其中 $l$ 为某个确定的正整数． （3）数列 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$ 。 （4）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在 $\displaystyle \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$ ． 则以上命题中正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：命题(1)正确，收敛数列必有界。步骤2：命题(2)正确，极限存在则任意子列收敛于同一极限。步骤3：命题(3)正确，奇偶子列均收敛于$a$等价于原数列收敛于$a$。步骤4：命题(4)错误，反例$x_n=0$时$\displaystyle \frac{x_{n+1}}{x_n}$无定义。正确个数为3。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断命题(1)的正确性
根据收敛数列的性质，若数列{x_n}收敛，则它必有界。因此命题(1)正确。
提示：收敛数列必有界是基本定理。
步骤 2/4
目标：判断命题(2)的正确性
若lim_{n→∞} x_n = a，则任意子列（包括{x_{n+l}}）也收敛于a。反之，若{x_{n+l}}收敛于a，则原数列去掉前l项后收敛于a，由于极限与有限项无关，原数列也收敛于a。因此命题(2)正确。
提示：极限存在时，子列极限相同；反之，去掉有限项不影响极限。
步骤 3/4
目标：判断命题(3)的正确性
若lim_{n→∞} x_n = a，则奇子列{x_{2n-1}}和偶子列{x_{2n}}都收敛于a。反之，若奇偶子列都收敛于a，则原数列收敛于a。因此命题(3)正确。
提示：奇偶子列均收敛于同一极限是原数列收敛的充要条件。
步骤 4/4
目标：判断命题(4)的正确性
考虑反例：x_n = 0，则x_{n+1}/x_n无定义，因此极限不存在。或者x_n = 1/n，则lim (x_{n+1}/x_n)=1，但lim x_n=0≠1。因此命题(4)错误。
提示：注意分母为零的情况，且比值极限为1不能推出数列极限存在。
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