kaoyan3basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 第3题 3．设 $y=x^{n}+\mathrm{e}^{x}$ ，则 $y^{(n)}=$ （A） $\mathrm{e}^{x}$ ． （B）$n!$ ． （C）$n!+\mathrm{e}^{x}$ ． （D）$n!+n \mathrm{e}^{x}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$y^{(n)}=(x^n)^{(n)}+(e^x)^{(n)}$。步骤2：$(x^n)^{(n)}=n!$，$(e^x)^{(n)}=e^x$，故$y^{(n)}=n!+e^x$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将函数分解为两个部分的和
根据导数的线性性质，$y^{(n)} = (x^n)^{(n)} + (e^x)^{(n)}$。
公式：$(u+v)^{(n)} = u^{(n)} + v^{(n)}$
提示：注意高阶导数的线性性质，可以分别求导再相加。
步骤 2/4
目标：计算 $x^n$ 的 $n$ 阶导数
对于幂函数 $x^n$，其 $n$ 阶导数为常数 $n!$。因为每求一次导数，指数减1，系数乘以当前指数，经过 $n$ 次后得到 $n!$。
公式：$(x^n)^{(n)} = n!$
提示：当求导次数等于幂次时，结果为阶乘常数。
步骤 3/4
目标：计算 $e^x$ 的 $n$ 阶导数
指数函数 $e^x$ 的任意阶导数都是它本身，因此 $(e^x)^{(n)} = e^x$。
公式：$(e^x)^{(n)} = e^x$
提示：指数函数求导不变，是常见结论。
步骤 4/4
目标：合并结果
将两部分相加，得到 $y^{(n)} = n! + e^x$。
提示：检查选项，对应C。
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