kaoyan3basic 高等数学 第638题
📝 题目
### 第638题 638 现有关于级数的如下四个结论： （1）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛． （2）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散． （3）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 （4）设 $a_{n}>0(n=1,2,3, \cdots)$ 且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ 存在，又 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．其中正确的是 （A）（1），（2）． （B）（1），（3）． （C）（3），（4）． （D）
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：由$(u_n+v_n)^2\leq2(u_n^2+v_n^2)$，若$\sum u_n^2$和$\sum v_n^2$收敛，则$\sum(u_n+v_n)^2$收敛。故（A）正确。（B）反例：$\displaystyle u_n=v_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，则$\displaystyle \sum|u_nv_n|=\sum\frac{1}{n}$发散，但$\displaystyle \sum u_n^2=\sum\frac{1}{n}$发散，不满足前提。（C）反例：$\displaystyle u_n=\frac{1}{n\ln n}$，正项级数发散，但$\displaystyle u_n<\frac{1}{n}$。（D）反例：$u_n=0, v_n=-1$，$\sum u_n$收敛，$u_n\geq v_n$，但$\sum v_n$发散。 **难度**：★★★☆☆