kaoyan3basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 第4题 4．已知函数 $f(x)$ 的一个原函数 $\ln ^{2} x$ ，则 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$ （A） $\ln ^{2} x+C$ ． （B）$-\ln ^{2} x+C$ ． （C） $\ln x-\ln ^{2} x+C$ ． （D） $2 \ln x-\ln ^{2} x+C$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：由题意，$\displaystyle f(x)=(\ln^2 x)'=\frac{2\ln x}{x}$。 步骤2：分部积分，$\int x f'(x)\,\mathrm{d}x=xf(x)-\int f(x)\,\mathrm{d}x=2\ln x-\ln^2 x+C$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求f(x)的表达式
已知f(x)的一个原函数为ln^2 x，则f(x) = (ln^2 x)' = 2ln x / x。
公式：f(x) = (ln^2 x)' = 2ln x / x
提示：原函数的导数等于被积函数。
步骤 2/2
目标：计算不定积分∫ x f'(x) dx
使用分部积分法，令u=x, dv=f'(x)dx，则du=dx, v=f(x)。于是∫ x f'(x) dx = x f(x) - ∫ f(x) dx = x*(2ln x / x) - ln^2 x + C = 2ln x - ln^2 x + C。
公式：∫ x f'(x) dx = x f(x) - ∫ f(x) dx
提示：分部积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du。
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