kaoyan3basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 第5题 5． $\int_{1}^{5} \mathrm{e}^{\sqrt{2 x-1}} \mathrm{~d} x=$ （A） $\mathrm{e}^{3}$ ． （B） $2 \mathrm{e}^{3}$ ． （C） $3 \mathrm{e}^{3}$ ． （D） $4 e^{4}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：令$t=\sqrt{2x-1}$，则$\displaystyle x=\frac{t^2+1}{2}$，$\mathrm{d}x=t\,\mathrm{d}t$，积分限$t:1\to3$。 步骤2：原积分$=\int_1^3 e^t\cdot t\,\mathrm{d}t$，分部积分得$[te^t-e^t]_1^3=(3e^3-e^3)-(e-e)=2e^3$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：换元简化积分
令 $t = \sqrt{2x-1}$，则 $x = \frac{t^2+1}{2}$，$dx = t\,dt$。当 $x=1$ 时 $t=1$，当 $x=5$ 时 $t=3$。
公式：$t = \sqrt{2x-1}$，$dx = t\,dt$
提示：注意换元后积分限的变化。
步骤 2/3
目标：计算新积分
原积分化为 $\int_1^3 e^t \cdot t\,dt$，使用分部积分法：令 $u=t$，$dv=e^t dt$，则 $du=dt$，$v=e^t$。于是 $\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t + C$。
公式：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
提示：分部积分时选择 $u=t$ 简化计算。
步骤 3/3
目标：代入上下限求值
计算定积分：$\left[ t e^t - e^t \right]_1^3 = (3e^3 - e^3) - (1e^1 - e^1) = 2e^3 - 0 = 2e^3$。
提示：注意 $e^1 - e^1 = 0$。
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