kaoyan3basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 第6题 6．设 $f(x+y, x y)=x^{2}+y^{2}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}+\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=$ （A） $2 x-2$ ． （B） $2 x+2$ ． （C）$x-1$ ． （D）$x+1$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：由$f(x+y,xy)=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，得$f(u,v)=u^2-2v$。 步骤2：$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2u$，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2u$，故$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=4u=4(x+y)$。选项无此形式，需注意原题中$f(x,y)$的变量为$x,y$，代入得$2x-2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将已知表达式转化为f(u,v)形式
由f(x+y, xy) = x^2 + y^2，利用恒等式x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy，令u = x+y, v = xy，得f(u, v) = u^2 - 2v。
公式：x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy
提示：注意变量替换，将复合函数转化为简单函数。
步骤 2/3
目标：求偏导数
由f(u, v) = u^2 - 2v，得∂f/∂u = 2u，∂f/∂v = -2。注意原题中f(x,y)的变量是x,y，但这里u,v是中间变量，实际上f(x,y) = x^2 - 2y。
公式：∂f/∂u = 2u, ∂f/∂v = -2
提示：注意区分函数f的自变量是(x,y)还是(u,v)。
步骤 3/3
目标：计算∂f/∂x + ∂f/∂y
由于f(x,y) = x^2 - 2y，所以∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = -2，相加得2x - 2。
公式：∂f/∂x + ∂f/∂y = 2x - 2
提示：直接对f(x,y)求偏导，避免混淆。
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