kaoyan3basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 第7题 7．不定积分 $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{\arctan x}{x}+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x^2}{1+x^2}\right|+C$ 或 $\displaystyle -\frac{\arctan x}{x}-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+\ln|x|+C$ **解析**：步骤1：将被积函数分解为$\displaystyle \frac{\arctan x}{x^2}-\frac{\arctan x}{1+x^2}$。 步骤2：分部积分$\displaystyle \int\frac{\arctan x}{x^2}dx=-\frac{\arctan x}{x}+\int\frac{1}{x(1+x^2)}dx$。 步骤3：计算$\displaystyle \int\frac{1}{x(1+x^2)}dx=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}\right)dx=\ln|x|-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$。 步骤4：计算$\displaystyle \int\frac{\arctan x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}(\arctan x)^2$，但原积分中此项为减，故合并得结果。 **难度**：★★☆☆☆
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