kaoyan3basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 第8题 8．设函数 $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+x$ 在 $x=1$ 处取得极大值 5 ，则常数 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$a=-9$，$b=13$ **解析**：步骤1：由极值条件$f'(1)=3a+2b+1=0$。 步骤2：由$f(1)=a+b+1=5$。 步骤3：联立解得$a=-9$，$b=13$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用极值条件建立方程
函数在 x=1 处取得极值，则导数 f'(1)=0。求导得 f'(x)=3ax^2+2bx+1，代入 x=1 得 3a+2b+1=0。
公式：f'(1)=3a+2b+1=0
提示：极值点处导数为零，但需注意是极大值，后续可验证二阶导数。
步骤 2/3
目标：利用函数值条件建立方程
由 f(1)=5，代入 f(x)=ax^3+bx^2+x 得 a+b+1=5，即 a+b=4。
公式：f(1)=a+b+1=5
提示：注意常数项为0，代入时不要遗漏。
步骤 3/3
目标：联立方程求解 a 和 b
联立方程组：3a+2b+1=0 和 a+b=4。由第二式得 b=4-a，代入第一式：3a+2(4-a)+1=0 => 3a+8-2a+1=0 => a+9=0 => a=-9。则 b=4-(-9)=13。
公式：a=-9, b=13
提示：解方程组时注意符号，代入后仔细计算。
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