kaoyan3basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 第9题 9．已知 $f(2)=2, \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=4, \int_{0}^{2} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**：步骤1：分部积分$\int_0^2 xf'(x)dx=\left[xf(x)\right]_0^2-\int_0^2 f(x)dx$。 步骤2：代入$f(2)=2$得$2\cdot2-4=0$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：应用分部积分公式
使用分部积分公式 ∫u dv = uv - ∫v du，令 u = x, dv = f'(x)dx，则 du = dx, v = f(x)。于是 ∫_0^2 x f'(x) dx = [x f(x)]_0^2 - ∫_0^2 f(x) dx。
公式：∫_a^b u dv = [uv]_a^b - ∫_a^b v du
提示：分部积分的关键是正确选择 u 和 dv，通常将多项式部分设为 u。
步骤 2/2
目标：代入已知条件计算
已知 f(2)=2，所以 [x f(x)]_0^2 = 2·f(2) - 0·f(0) = 2·2 = 4。又已知 ∫_0^2 f(x) dx = 4，因此原式 = 4 - 4 = 0。
公式：无
提示：注意边界项中 f(0) 未给出，但乘以0后不影响结果。
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