kaoyan3basic 高等数学 第10题

教材习题

📝 题目

### 第10题 10．已知 $\displaystyle z=u^{2} \cos v, u=x y, v=2 x+y, \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2xy^2\cos(2x+y)-2x^2y\sin(2x+y)$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=2x^2y\cos(2x+y)-x^2y\sin(2x+y)$ **解析**：步骤1：由链式法则$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$，其中$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=2u\cos v$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}=-u^2\sin v$，$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=y$，$\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}=2$。 步骤2：代入$u=xy$，$v=2x+y$得$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2xy\cos(2x+y)\cdot y - (xy)^2\sin(2x+y)\cdot2$，化简即得。 步骤3：同理$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=2xy\cos(2x+y)\cdot x - (xy)^2\sin(2x+y)\cdot1$，化简即得。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：计算 ∂z/∂x
由链式法则，∂z/∂x = (∂z/∂u)(∂u/∂x) + (∂z/∂v)(∂v/∂x)。计算各偏导数：∂z/∂u = 2u cos v，∂z/∂v = -u² sin v，∂u/∂x = y，∂v/∂x = 2。代入 u=xy, v=2x+y 得 ∂z/∂x = 2xy cos(2x+y)·y - (xy)² sin(2x+y)·2 = 2xy² cos(2x+y) - 2x²y sin(2x+y)。
公式：∂z/∂x = (∂z/∂u)(∂u/∂x) + (∂z/∂v)(∂v/∂x)
提示：注意链式法则中每一项的乘积，不要遗漏项。
步骤 2/2
目标：计算 ∂z/∂y
同理，∂z/∂y = (∂z/∂u)(∂u/∂y) + (∂z/∂v)(∂v/∂y)。计算：∂u/∂y = x，∂v/∂y = 1。代入得 ∂z/∂y = 2xy cos(2x+y)·x - (xy)² sin(2x+y)·1 = 2x²y cos(2x+y) - x²y sin(2x+y)。
公式：∂z/∂y = (∂z/∂u)(∂u/∂y) + (∂z/∂v)(∂v/∂y)
提示：注意 ∂v/∂y = 1，不要误写为其他值。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第9题 返回列表 第1题 →