kaoyan3basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 第1题 1 设函数 $f(x)$ 为定义在 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，且 $\forall x \in(-\infty,+\infty), f(x+2)- f(x)=f(2)$ ，若 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数，则 $f(1)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：$f(x)$是奇函数，则$f(0)=0$。 步骤2：$f(x)$以2为周期，则$f(2)=f(0)=0$。 步骤3：由$f(x+2)-f(x)=f(2)=0$，得$f(x+2)=f(x)$，即周期为2，与条件一致。 步骤4：令$x=-1$，则$f(1)-f(-1)=f(2)=0$，由奇函数$f(-1)=-f(1)$，得$f(1)+f(1)=0$，故$f(1)=0$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用奇函数性质得到f(0)=0
因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，所以f(0)=0。
公式：f(0)=0
提示：奇函数在0点有定义时，f(0)=0。
步骤 2/4
目标：利用周期函数性质得到f(2)=0
因为f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(2)=f(0)=0。
公式：f(2)=f(0)=0
提示：周期函数满足f(x+T)=f(x)。
步骤 3/4
目标：代入已知等式得到f(x+2)=f(x)
由f(x+2)-f(x)=f(2)且f(2)=0，得f(x+2)=f(x)，这验证了周期为2。
公式：f(x+2)-f(x)=f(2)=0 ⇒ f(x+2)=f(x)
提示：代入已知条件简化等式。
步骤 4/4
目标：令x=-1并利用奇函数性质求解f(1)
令x=-1，则f(1)-f(-1)=f(2)=0。由奇函数f(-1)=-f(1)，得f(1)+f(1)=0，所以2f(1)=0，即f(1)=0。
公式：f(1)-f(-1)=0, f(-1)=-f(1) ⇒ 2f(1)=0 ⇒ f(1)=0
提示：注意奇函数性质：f(-x)=-f(x)。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。