kaoyan3basic 高等数学 第248题
📝 题目
### 第248题 248 下列命题正确的是 （A）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $f(x, y)$ 的极值点，则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 必为 $f(x, y)$ 的驻点． （B）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $f(x, y)$ 的驻点，则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 必为 $f(x, y)$ 的极值点． （C）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为有界闭区域 $D$ 上连续的函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 内部唯一的极值点，且 $f(x, y)$在该点取极大值，则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得它在 $D$ 上的最大值． （D）若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得极小值，则 $f\left(x, y_{0}\right)$ 在 $x=x_{0}$ 处取极小值，$f\left(x_{0}, y\right)$ 在 $y=y_{0}$ 处取极小值．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：A错误，极值点可能为不可导点（如$f(x,y)=|x|+|y|$在$(0,0)$）。步骤2：B错误，驻点不一定是极值点（如$f(x,y)=x^2-y^2$在$(0,0)$）。步骤3：C错误，内部唯一极值点不一定为最值点（需考虑边界）。步骤4：D正确，由极值定义，固定$y=y_0$时$f(x,y_0)$在$x=x_0$处取极小值，同理另一元。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析选项A
极值点可能为不可导点，例如f(x,y)=|x|+|y|在(0,0)处取得极小值，但该点不可导，不是驻点。因此A错误。
提示：注意极值点包括可导和不可导点，驻点要求一阶偏导为零。
步骤 2/4
目标：分析选项B
驻点不一定是极值点，例如f(x,y)=x^2-y^2在(0,0)处，一阶偏导为零，但该点为鞍点，不是极值点。因此B错误。
提示：驻点需通过二阶偏导判别是否为极值点。
步骤 3/4
目标：分析选项C
有界闭区域上连续函数内部唯一的极值点不一定是最值点，因为最值可能出现在边界上。例如，f(x,y)=x^2-y^2在单位圆盘内，内部唯一极值点(0,0)为鞍点，但最大值在边界上。即使内部唯一极大值，也可能边界值更大。因此C错误。
提示：最值需比较内部极值与边界值。
步骤 4/4
目标：分析选项D
若f(x,y)在(x0,y0)取极小值，则固定y=y0时，f(x,y0)在x=x0处取极小值；固定x=x0时，f(x0,y)在y=y0处取极小值。由极值定义直接可得。因此D正确。
提示：多元函数极值定义蕴含一元函数极值。
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