kaoyan3basic 高等数学 第247题
📝 题目
### 第247题 247 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-2$ ，则 （A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （B）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在但不为零． （C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极大值． （D）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极小值．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{1-\cos\sqrt{x^2+y^2}}=-2$，分母$\displaystyle 1-\cos r\sim\frac{1}{2}r^2$（$r=\sqrt{x^2+y^2}$），故$f(x,y)\sim -r^2$。步骤2：在$(0,0)$附近，$f(x,y)<0$（除原点处$f(0,0)=0$），故$(0,0)$为极大值点。步骤3：偏导数存在性：由极限知$f(0,0)=0$，沿$x$轴$f(x,0)\sim -x^2$，$\displaystyle f_x'(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)}{x}=0$，存在且为零。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用极限条件推导f(x,y)的局部近似
由极限条件，分母1-cos√(x²+y²) ~ 1/2 (x²+y²) (当(x,y)→(0,0))，因此f(x,y) ~ -2 * (1/2)(x²+y²) = -(x²+y²)。即f(x,y)在(0,0)附近近似为负的二次型。
公式：1-cos r ~ r²/2, r=√(x²+y²)
提示：注意等价无穷小替换时，分母趋于0，分子也趋于0，故f(0,0)=0。
步骤 2/3
目标：判断极值类型
由近似f(x,y) ~ -(x²+y²) < 0 (除原点外)，且f(0,0)=0，故在(0,0)附近f(x,y) ≤ 0，所以(0,0)是极大值点。
提示：极值定义：若存在邻域内f(x,y) ≤ f(0,0)，则为极大值。
步骤 3/3
目标：计算偏导数f_x'(0,0)
沿x轴方向，令y=0，则f(x,0) ~ -x²，因此f_x'(0,0)=lim_{x→0} [f(x,0)-f(0,0)]/x = lim_{x→0} (-x²)/x = 0，存在且为零。
公式：f_x'(0,0)=lim_{x→0} (f(x,0)-f(0,0))/x
提示：注意f(0,0)=0由极限条件隐含。
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