kaoyan3basic 高等数学 第246题
📝 题目
### 第246题 246 已知 $\mathrm{d} f(x, y)=\left(2 y^{2}+2 x y+3 x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(4 x y+x^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，则 $f(x, y)=$ （A） $2 x y^{2}+x^{2} y$ ． （B） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}$ ． （C） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ． （D） $3 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由$df=Pdx+Qdy$，其中$P=2y^2+2xy+3x^2$，$Q=4xy+x^2$。步骤2：验证$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=4y+2x$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=4y+2x$，相等，故存在原函数。步骤3：对$P$积分得$f(x,y)=\int(2y^2+2xy+3x^2)dx=2xy^2+x^2y+x^3+\varphi(y)$。步骤4：对$y$求偏导得$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=4xy+x^2+\varphi'(y)=Q=4xy+x^2$，故$\varphi'(y)=0$，$\varphi(y)=C$。步骤5：$f(x,y)=2xy^2+x^2y+x^3+C$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别微分形式并验证条件
由 df = P dx + Q dy，其中 P = 2y^2 + 2xy + 3x^2，Q = 4xy + x^2。计算 ∂P/∂y = 4y + 2x，∂Q/∂x = 4y + 2x，两者相等，故存在原函数 f(x,y)。
公式：∂P/∂y = ∂Q/∂x
提示：验证全微分条件是求解原函数的前提。
步骤 2/4
目标：对 P 积分求 f 的表达式
对 P 关于 x 积分：f(x,y) = ∫(2y^2 + 2xy + 3x^2) dx = 2xy^2 + x^2y + x^3 + φ(y)，其中 φ(y) 是待定函数。
公式：f(x,y) = ∫ P dx + φ(y)
提示：积分时视 y 为常数，注意添加关于 y 的函数。
步骤 3/4
目标：利用 Q 确定 φ(y)
对 f 求关于 y 的偏导：∂f/∂y = 4xy + x^2 + φ'(y)。令其等于 Q = 4xy + x^2，得 φ'(y) = 0，积分得 φ(y) = C（常数）。
公式：∂f/∂y = Q ⇒ φ'(y) = 0
提示：比较偏导与 Q 时，注意消去相同项。
步骤 4/4
目标：写出原函数
代入 φ(y) = C，得 f(x,y) = 2xy^2 + x^2y + x^3 + C。
公式：f(x,y) = 2xy^2 + x^2y + x^3 + C
提示：常数 C 不可遗漏。
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