kaoyan3basic 高等数学 第245题
📝 题目
### 第245题 245 设函数 $f(x, y)$ 可微且 $f[x+1, \ln (1+x)]=(1+x)^{3}+x \ln (1+x)(x+1)^{\ln (x+1)}$ ， $f\left(x^{2}, x-1\right)=x^{4} \mathrm{e}^{x-1}+(x-1)\left(x^{2}-1\right) x^{2(x-1)}$ ，则 $\mathrm{d} f(1,0)=$ （A） $\mathrm{d} x+\mathrm{d} y$ ． （B） $\mathrm{d} x-2 \mathrm{~d} y$ ． （C） $\mathrm{d} x-\mathrm{d} y$ ． （D） $2 \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：令$u=x+1,v=\ln(1+x)$，则$f(u,v)=(1+x)^3+x\ln(1+x)(x+1)^{\ln(x+1)}$，当$x=0$时$u=1,v=0$，得$f(1,0)=1$。步骤2：两边对$x$求导，$\displaystyle f_u\cdot1+f_v\cdot\frac{1}{1+x}=3(1+x)^2+\ln(1+x)(x+1)^{\ln(x+1)}+\cdots$，代入$x=0$得$f_u(1,0)+f_v(1,0)=3$。步骤3：令$u=x^2,v=x-1$，则$f(u,v)=x^4e^{x-1}+(x-1)(x^2-1)x^{2(x-1)}$，当$x=1$时$u=1,v=0$，得$f(1,0)=1$。步骤4：两边对$x$求导，$f_u\cdot2x+f_v\cdot1=4x^3e^{x-1}+x^4e^{x-1}+\cdots$，代入$x=1$得$2f_u(1,0)+f_v(1,0)=5$。步骤5：解方程组$\begin{cases}f_u+f_v=3\\2f_u+f_v=5\end{cases}$得$f_u=2,f_v=1$，故$df(1,0)=2dx+dy$，选项无此答案。重新计算：步骤3中$f(u,v)=x^4e^{x-1}+(x-1)(x^2-1)x^{2(x-1)}$，当$x=1$时$u=1,v=0$，$f(1,0)=1$。步骤4求导：$2xf_u+f_v=4x^3e^{x-1}+x^4e^{x-1}+(x^2-1)x^{2(x-1)}+(x-1)\cdot2x\cdot x^{2(x-1)}+(x-1)(x^2-1)x^{2(x-1)}\ln x\cdot2$，代入$x=1$得$2f_u+f_v=4+1+0+0+0=5$。步骤5解$\begin{cases}f_u+f_v=3\\2f_u+f_v=5\end{cases}$得$f_u=2,f_v=1$，故$df(1,0)=2dx+dy$，对应选项D。 **难度**：★★★★☆