kaoyan3basic 高等数学 第188题
📝 题目
### 第188题 $\displaystyle 188 I=\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=$ （A）$\pi$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{8}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：令$x=\sin^2 t$，则$dx=2\sin t\cos t\,dt$，当$x=0$时$t=0$，$x=1$时$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$。 步骤2：$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 t}{\sqrt{\sin^2 t(1-\sin^2 t)}}\cdot 2\sin t\cos t\,dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 t}{\sin t\cos t}\cdot 2\sin t\cos t\,dt = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t\,dt$。 步骤3：$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t\,dt = \frac{\pi}{4}$，故$\displaystyle I=2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简被积函数
令 x = sin^2 t，则 dx = 2 sin t cos t dt。当 x=0 时 t=0，x=1 时 t=π/2。
公式：x = sin^2 t, dx = 2 sin t cos t dt
提示：选择三角换元以消除根号，注意积分限变换。
步骤 2/3
目标：代入并简化积分
I = ∫_{0}^{π/2} (sin^2 t) / sqrt(sin^2 t (1 - sin^2 t)) * 2 sin t cos t dt = ∫_{0}^{π/2} (sin^2 t) / (sin t cos t) * 2 sin t cos t dt = 2 ∫_{0}^{π/2} sin^2 t dt。
公式：sqrt(sin^2 t cos^2 t) = sin t cos t (t∈[0,π/2])
提示：注意开方后取正值，因为 sin t, cos t 在 [0,π/2] 非负。
步骤 3/3
目标：计算定积分
∫_{0}^{π/2} sin^2 t dt = π/4，所以 I = 2 * π/4 = π/2。
公式：∫_{0}^{π/2} sin^2 t dt = π/4
提示：利用倍角公式或已知结论。
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