kaoyan3basic 高等数学 第189题
📝 题目
### 第189题 $\displaystyle 189 I=\int_{0}^{1} x^{4} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{3}{8}+\frac{8}{15} \pi$ ． （B）$\displaystyle \frac{3}{16} \pi+\frac{8}{15}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{16}+\frac{8}{15} \pi$ ． （D）$\displaystyle \frac{3}{16} \pi+\frac{8}{5} \pi$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：令$x=\cos 2t$，则$dx=-2\sin 2t\,dt$，当$x=0$时$\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$，$x=1$时$t=0$。 步骤2：$\displaystyle \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=\sqrt{\frac{1+\cos 2t}{1-\cos 2t}}=\sqrt{\frac{2\cos^2 t}{2\sin^2 t}}=\cot t$，$x^4=\cos^4 2t$。 步骤3：$\displaystyle I=\int_{\frac{\pi}{4}}^0 \cos^4 2t \cdot \cot t \cdot (-2\sin 2t)\,dt = 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^4 2t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} \cdot 2\sin t\cos t\,dt = 4\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^4 2t \cos^2 t\,dt$。 步骤4：利用倍角公式化简并积分得$\displaystyle I=\frac{3}{16}+\frac{8}{15}\pi$。 **难度**：★★★☆☆