kaoyan3basic 高等数学 第190题
📝 题目
### 第190题 190 设 $n, m$ 为正整数，$I_{n, m}=\int_{0}^{1} x^{n} \ln ^{m} x \mathrm{~d} x$ 是 （A）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{n} n!}{(n+1)^{m}}$ ． （B）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． （C）反常积分且发散． （D）反常积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． □
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$x=0$为瑕点，$\lim_{x\to 0^+} x^n \ln^m x = 0$（$n>0$），故为反常积分且收敛。 步骤2：令$t=-\ln x$，则$x=e^{-t}$，$dx=-e^{-t}dt$，积分限$t:+\infty\to 0$。 步骤3：$I_{n,m}=\int_0^1 x^n \ln^m x\,dx = \int_{+\infty}^0 e^{-nt}(-t)^m (-e^{-t})dt = (-1)^m \int_0^{+\infty} t^m e^{-(n+1)t}dt$。 步骤4：$\displaystyle \int_0^{+\infty} t^m e^{-(n+1)t}dt = \frac{m!}{(n+1)^{m+1}}$，故$\displaystyle I_{n,m}=\frac{(-1)^m m!}{(n+1)^{m+1}}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断积分类型
由于积分下限0处被积函数x^n ln^m x在x→0+时，因为n>0，ln^m x增长慢于x^n的衰减，极限为0，但x=0仍为瑕点，故该积分为反常积分，且收敛。
公式：lim_{x→0+} x^n ln^m x = 0
提示：注意n为正整数，确保极限为0。
步骤 2/5
目标：变量代换
令t = -ln x，则x = e^{-t}，dx = -e^{-t} dt。当x=0时，t=+∞；当x=1时，t=0。积分限从0到1变为从+∞到0。
公式：x = e^{-t}, dx = -e^{-t} dt
提示：代换后注意积分限变化。
步骤 3/5
目标：化简积分表达式
代入得：I_{n,m} = ∫_{0}^{1} x^n ln^m x dx = ∫_{+∞}^{0} e^{-nt} (-t)^m (-e^{-t}) dt = (-1)^m ∫_{0}^{+∞} t^m e^{-(n+1)t} dt。
公式：I_{n,m} = (-1)^m ∫_{0}^{+∞} t^m e^{-(n+1)t} dt
提示：注意符号处理。
步骤 4/5
目标：计算Gamma积分
∫_{0}^{+∞} t^m e^{-(n+1)t} dt = m! / (n+1)^{m+1}，这是Gamma函数的性质。
公式：∫_{0}^{+∞} t^m e^{-at} dt = m! / a^{m+1}
提示：a = n+1 > 0。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此I_{n,m} = (-1)^m * m! / (n+1)^{m+1}。
公式：I_{n,m} = (-1)^m m! / (n+1)^{m+1}
提示：结果与选项D一致。
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