kaoyan3basic 高等数学 第117题
📝 题目
### 第117题 117 已知函数 $f(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} x \int_{x}^{t} \mathrm{e}^{t y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\mathrm{e}-1$ **解析**：交换积分次序：$f(t)=\int_0^t dy \int_0^y e^{ty^2} dx = \int_0^t y e^{ty^2} dy$，则$f'(t)=\int_0^t y^3 e^{ty^2} dy + t e^{t^3}$，代入$t=1$得$f'(1)=\int_0^1 y^3 e^{y^2} dy + e$，计算$\displaystyle \int_0^1 y^3 e^{y^2} dy = \frac12 \int_0^1 u e^u du = \frac12(e-1)$，故$\displaystyle f'(1)=\frac12(e-1)+e = \frac{3e-1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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