kaoyan3basic 高等数学 第118题
📝 题目
### 第118题 118 设 $f(x, y)$ 为连续函数，且 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{\pi} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{\pi}\sqrt{x^2+y^2}\cdot\frac{\pi}{4}+y^2$ 或 $\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{4}+y^2$ **解析**：设$A=\iint_{x^2+y^2\leq 1} f(x,y) d\sigma$，则$\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{\pi}\sqrt{x^2+y^2}A+y^2$，两边在单位圆上积分得$\displaystyle A=\frac{A}{\pi}\iint_{x^2+y^2\leq 1}\sqrt{x^2+y^2}d\sigma + \iint_{x^2+y^2\leq 1}y^2 d\sigma$，极坐标计算$\displaystyle \iint \sqrt{x^2+y^2}d\sigma = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r\cdot r dr = 2\pi\cdot\frac13 = \frac{2\pi}{3}$，$\displaystyle \iint y^2 d\sigma = \frac12 \iint (x^2+y^2) d\sigma = \frac12 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^2\cdot r dr = \pi\cdot\frac14 = \frac{\pi}{4}$，代入得$\displaystyle A = \frac{2A}{3} + \frac{\pi}{4}$，解得$\displaystyle A=\frac{3\pi}{4}$，故$\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{\pi}\sqrt{x^2+y^2}\cdot\frac{3\pi}{4}+y^2 = \frac{3}{4}\sqrt{x^2+y^2}+y^2$。 **难度**：★★★☆☆