kaoyan3basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 第5题 $5 \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}-x}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}=\frac{(x^2+x)-(x^2-x)}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}=\frac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}$。 步骤2：当$x\to+\infty$，分母$\sim2x$，故极限$\displaystyle =\frac{2x}{2x}=1$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：化简表达式
将原式分子有理化：√(x²+x) - √(x²-x) = ((x²+x)-(x²-x))/(√(x²+x)+√(x²-x)) = 2x/(√(x²+x)+√(x²-x))
公式：a-b = (a²-b²)/(a+b)
提示：当遇到根式相减时，常用分子有理化方法
步骤 2/2
目标：求极限
当x→+∞时，分母√(x²+x)+√(x²-x) ~ 2x，因此原极限 = lim_{x→+∞} (2x)/(2x) = 1
公式：√(x²±x) ~ x (x→+∞)
提示：注意x→+∞时，√(x²+x) ~ x，但需保留主要项
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