kaoyan3basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 第4题 $\displaystyle 4 \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$e^2$ **解析**： 步骤1：令$\displaystyle t=\frac{1}{x}$，则$x\to\infty$时$t\to0$，原式$=\lim_{t\to0}(\sin 2t+\cos t)^{1/t}$。 步骤2：取对数，$\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\ln(\sin 2t+\cos t)}{t}$，用等价无穷小：$\sin 2t\sim2t$，$\displaystyle \cos t\sim1-\frac{t^2}{2}$，则$\sin 2t+\cos t\sim1+2t$，$\ln(1+2t)\sim2t$，故极限为2。 步骤3：原极限$=e^2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简极限形式
令 t = 1/x，则当 x→∞ 时 t→0，原极限化为 lim_{t→0} (sin 2t + cos t)^{1/t}。
公式：t = 1/x
提示：注意变量替换后极限过程的变化。
步骤 2/4
目标：取对数转化为指数极限
计算 ln(原极限) = lim_{t→0} ln(sin 2t + cos t) / t。
公式：lim ln(f) = ln(lim f)
提示：利用指数函数的连续性，先求对数部分的极限。
步骤 3/4
目标：使用等价无穷小简化
当 t→0 时，sin 2t ~ 2t，cos t ~ 1 - t^2/2，所以 sin 2t + cos t ~ 1 + 2t，ln(1+2t) ~ 2t，因此极限为 2。
公式：sin 2t ~ 2t, cos t ~ 1 - t^2/2, ln(1+2t) ~ 2t
提示：注意等价无穷小替换的条件和精度，确保分子分母同阶。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
原极限 = e^{2}。
公式：e^{lim ln(...)}
提示：不要忘记指数运算。
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