kaoyan3basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 第3题 3 设 $\displaystyle f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$7$ **解析**： 步骤1：令$\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$，则$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$，故$f(t)=t^2-2$。 步骤2：所以$f(x)=x^2-2$，则$\lim_{x\to3}f(x)=3^2-2=7$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定函数f(x)的表达式
令 t = x + 1/x，则 x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2 = t^2 - 2，所以 f(t) = t^2 - 2，即 f(x) = x^2 - 2。
公式：x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2
提示：注意换元后变量的等价性。
步骤 2/2
目标：计算极限
lim_{x→3} f(x) = lim_{x→3} (x^2 - 2) = 3^2 - 2 = 7。
公式：lim_{x→a} x^2 = a^2
提示：直接代入即可。
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