kaoyan3basic 高等数学 第618题
📝 题目
### 第618题 $\displaystyle 618 \lim _{x \rightarrow 1}\left(1-x^{2}\right) \tan \frac{\pi}{2} x=$ （A） 1 ． （B）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ． （C）$\displaystyle \frac{4}{\pi}$ ． （D）$\displaystyle \frac{6}{\pi}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：令$t = 1 - x$，则$x \to 1$时$t \to 0$，原式$\displaystyle = \lim_{t \to 0} (1 - (1-t)^2) \tan\left( \frac{\pi}{2}(1-t) \right) = \lim_{t \to 0} (2t - t^2) \tan\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}t \right)$。 步骤2：$\displaystyle \tan\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}t \right) = \cot\left( \frac{\pi}{2}t \right) = \frac{1}{\tan(\pi t/2)}$。 步骤3：当$t \to 0$时，$\displaystyle \tan(\pi t/2) \sim \frac{\pi}{2}t$，故原式$\displaystyle = \lim_{t \to 0} (2t) \cdot \frac{1}{\pi t/2} = \frac{4}{\pi}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简表达式
令 t = 1 - x，则 x → 1 时 t → 0，原式 = lim_{t→0} (1 - (1-t)^2) tan(π/2 (1-t)) = lim_{t→0} (2t - t^2) tan(π/2 - πt/2)。
公式：x = 1 - t
提示：换元后注意三角函数的诱导公式。
步骤 2/3
目标：利用诱导公式化简正切
tan(π/2 - πt/2) = cot(πt/2) = 1 / tan(πt/2)。
公式：tan(π/2 - α) = cot α
提示：将正切转化为余切，便于使用等价无穷小。
步骤 3/3
目标：应用等价无穷小求极限
当 t → 0 时，tan(πt/2) ~ πt/2，且 2t - t^2 ~ 2t，故原式 = lim_{t→0} (2t) * (1/(πt/2)) = 4/π。
公式：tan u ~ u (u→0)
提示：注意高阶无穷小 t^2 可忽略。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。