kaoyan3basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 第1题 1． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\tan \left(x^{2}-1\right)}{x^{3}-1}=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ． （C）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：利用等价无穷小替换，当$x\to1$时，$\tan(x^2-1)\sim x^2-1$。 步骤2：原极限化为$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^3-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\lim_{x\to1}\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{2}{3}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简极限表达式
当 x→1 时，tan(x^2-1) ~ x^2-1，因此原极限化为 lim_{x→1} (x^2-1)/(x^3-1)。
公式：tan(u) ~ u (u→0)
提示：注意等价无穷小替换的条件：u→0。
步骤 2/3
目标：因式分解并约去公因子
分子 x^2-1 = (x-1)(x+1)，分母 x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)，约去 (x-1) 得 lim_{x→1} (x+1)/(x^2+x+1)。
公式：a^2-b^2=(a-b)(a+b); a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
提示：注意因式分解的正确性。
步骤 3/3
目标：代入求值
将 x=1 代入得 (1+1)/(1+1+1)=2/3。
提示：代入后分母不为零，可直接计算。
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