kaoyan3basic 高等数学 第616题
📝 题目
### 第616题 616 设函数 $f(x)$ 满足 $\displaystyle f\left(x+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f^{2}(x)}, x \in(-\infty,+\infty)$ ，则 $f(x)$ 的周期为 （A）1． （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：令$y = f(x)$，则$\displaystyle f\left(x+\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \sqrt{y - y^2}$，平方得$\displaystyle \left( f\left(x+\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} \right)^2 = y - y^2$，即$\displaystyle f^2\left(x+\frac{1}{2}\right) - f\left(x+\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{4} = y - y^2$。 步骤2：整理得$\displaystyle f^2\left(x+\frac{1}{2}\right) - f\left(x+\frac{1}{2}\right) + y^2 - y + \frac{1}{4} = 0$，即$\displaystyle \left( f\left(x+\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{2}$。 步骤3：令$\displaystyle g(x) = f(x) - \frac{1}{2}$，则$\displaystyle g^2\left(x+\frac{1}{2}\right) + g^2(x) = \frac{1}{2}$。 步骤4：将$x$替换为$\displaystyle x+\frac{1}{2}$，得$\displaystyle g^2(x+1) + g^2\left(x+\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$，两式相减得$g^2(x+1) = g^2(x)$，故$g(x+1) = \pm g(x)$。 步骤5：代入原式，由$\displaystyle g\left(x+\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\frac{1}{2} - g^2(x)}$非负，可知$g(x+1) = g(x)$，周期为1。 **难度**：★★★★☆