kaoyan3basic 概率论与数理统计 第444题
📝 题目
### 第444题 444 设 $X \sim N\left(\mu, \sigma_{1}^{2}\right), Y \sim N\left(2 \mu, \sigma_{2}^{2}\right), X$ 与 $Y$ 相互独立，已知 $\displaystyle P\{X-Y \geqslant 1\}=\frac{1}{2}$ ，则 $\mu=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\mu = 1$ **解析**： 步骤1：由$X \sim N(\mu, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(2\mu, \sigma_2^2)$且独立，得$X-Y \sim N(-\mu, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$。 步骤2：$\displaystyle P\{X-Y \geq 1\} = \frac{1}{2}$，即$\displaystyle P\{X-Y \geq 1\} = 1 - \Phi\left(\frac{1+\mu}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\right) = \frac{1}{2}$，故$\displaystyle \frac{1+\mu}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}} = 0$，解得$\mu = -1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定X-Y的分布
由于X和Y独立且服从正态分布，它们的线性组合也服从正态分布。计算期望和方差：E(X-Y)=E(X)-E(Y)=μ-2μ=-μ，D(X-Y)=D(X)+D(Y)=σ1^2+σ2^2，所以X-Y ~ N(-μ, σ1^2+σ2^2)。
公式：若X~N(μ1,σ1^2), Y~N(μ2,σ2^2)且独立，则X-Y~N(μ1-μ2, σ1^2+σ2^2)
提示：注意方差相加，因为独立。
步骤 2/3
目标：利用概率条件建立方程
已知P{X-Y≥1}=1/2。标准化：令Z=(X-Y+μ)/√(σ1^2+σ2^2)，则Z~N(0,1)。事件{X-Y≥1}等价于{Z≥(1+μ)/√(σ1^2+σ2^2)}。所以P{Z≥(1+μ)/√(σ1^2+σ2^2)}=1/2。由于标准正态分布关于0对称，P{Z≥0}=1/2，因此(1+μ)/√(σ1^2+σ2^2)=0。
公式：P{Z≥a}=1/2 ⇒ a=0
提示：利用标准正态分布对称性。
步骤 3/3
目标：解出μ
由(1+μ)/√(σ1^2+σ2^2)=0得1+μ=0，所以μ=-1。
提示：分母不为0，只需分子为0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。