kaoyan3basic 概率论与数理统计 第443题
📝 题目
### 第443题 443 设相互独立的两个随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从参数为 1 的指数分布，则 $P\{2 \geqslant \min (X$ ， $Y) \geqslant 1\}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$e^{-2}-e^{-4}$ **解析**：步骤1：$X$与$Y$独立同服从参数为1的指数分布，$\min(X,Y)$的分布函数$F_{\min}(z)=1-e^{-2z}$，$z>0$。步骤2：$P\{2\geqslant\min(X,Y)\geqslant1\}=F_{\min}(2)-F_{\min}(1)=(1-e^{-4})-(1-e^{-2})=e^{-2}-e^{-4}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定min(X,Y)的分布
由于X与Y独立同服从参数为1的指数分布，其分布函数为F(x)=1-e^{-x}，x>0。min(X,Y)的分布函数为F_min(z)=1-[1-F(z)]^2=1-e^{-2z}，z>0。
公式：F_min(z)=1-e^{-2z}
提示：独立同分布的最小值分布函数公式：F_min(z)=1-[1-F(z)]^n
步骤 2/2
目标：计算概率P{2≥min(X,Y)≥1}
P{2≥min(X,Y)≥1}=F_min(2)-F_min(1)=(1-e^{-4})-(1-e^{-2})=e^{-2}-e^{-4}。
公式：P{a≤min(X,Y)≤b}=F_min(b)-F_min(a)
提示：注意区间端点包含关系，连续型随机变量端点不影响概率。
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