kaoyan3basic 概率论与数理统计 第442题
📝 题目
### 第442题 442 设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的指数分布，随机变量函数 $Y=1-\mathrm{e}^{-X}$ 的分布函数为 $F_{Y}(y)$ ，则 $\displaystyle F_{Y}\left(\frac{1}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**：步骤1：$X$服从参数为1的指数分布，$Y=1-e^{-X}$，当$X>0$时，$Y\in(0,1)$。步骤2：$F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{1-e^{-X}\leqslant y\}=P\{e^{-X}\geqslant 1-y\}=P\{X\leqslant -\ln(1-y)\}=1-e^{-(-\ln(1-y))}=1-(1-y)=y$，$0
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定Y的取值范围
由于X服从参数为1的指数分布，其支撑为(0,+∞)，因此Y=1-e^{-X}的取值范围为(0,1)。
提示：注意指数分布的定义域
步骤 2/3
目标：推导Y的分布函数
对于y∈(0,1)，有F_Y(y)=P(Y≤y)=P(1-e^{-X}≤y)=P(e^{-X}≥1-y)=P(X≤-ln(1-y))。由于X服从指数分布，其分布函数为F_X(x)=1-e^{-x} (x>0)，所以F_Y(y)=1-e^{-(-ln(1-y))}=1-(1-y)=y。
公式：F_X(x)=1-e^{-x}
提示：注意反解不等式时不等号方向
步骤 3/3
目标：计算特定值
代入y=1/2，得F_Y(1/2)=1/2。
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