kaoyan3basic 概率论与数理统计 第441题
📝 题目
### 第441题 441 设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$ ，其分布函数为 $F(x)$ ，则有 $F(\mu+x \sigma)+F(\mu-x \sigma)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**：步骤1：$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，分布函数$\displaystyle F(x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$。步骤2：$F(\mu+x\sigma)=\Phi(x)$，$F(\mu-x\sigma)=\Phi(-x)=1-\Phi(x)$。步骤3：和为$\Phi(x)+1-\Phi(x)=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将分布函数F(x)用标准正态分布函数Φ表示
由于X服从正态分布N(μ,σ²)，其分布函数F(x) = Φ((x-μ)/σ)。
公式：F(x) = Φ((x-μ)/σ)
提示：记住正态分布标准化公式。
步骤 2/4
目标：计算F(μ+xσ)和F(μ-xσ)
代入x=μ+xσ得F(μ+xσ)=Φ((μ+xσ-μ)/σ)=Φ(x)；代入x=μ-xσ得F(μ-xσ)=Φ((μ-xσ-μ)/σ)=Φ(-x)。
公式：F(μ+xσ)=Φ(x), F(μ-xσ)=Φ(-x)
提示：注意标准化时分子相减。
步骤 3/4
目标：利用标准正态分布性质Φ(-x)=1-Φ(x)
由标准正态分布的对称性，Φ(-x)=1-Φ(x)。
公式：Φ(-x)=1-Φ(x)
提示：标准正态分布关于y轴对称。
步骤 4/4
目标：求和得到结果
F(μ+xσ)+F(μ-xσ)=Φ(x)+Φ(-x)=Φ(x)+1-Φ(x)=1。
公式：Φ(x)+1-Φ(x)=1
提示：注意合并同类项。
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