kaoyan3basic 概率论与数理统计 第440题
📝 题目
### 第440题 440 设随机变量 $X$ 服从 $(0,2)$ 上的均匀分布，则随机变量 $Y=X^{2}$ 在 $(0,4)$ 内的概率分布密度 $f_{Y}(y)=$ $\_\_\_\_$。 □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{4\sqrt{y}}$ **解析**：步骤1：$X$在$(0,2)$上均匀分布，密度$\displaystyle f_X(x)=\frac{1}{2}$，$0
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定X的分布密度
X服从(0,2)上的均匀分布，因此密度函数为f_X(x)=1/2，0
公式：f_X(x)=1/2, 0
提示：均匀分布的密度函数在区间内为常数，区间长度倒数。
步骤 2/3
目标：建立Y与X的函数关系并求反函数
Y=X^2，在(0,4)内，y=x^2单调递增，反函数为x=√y，导数dx/dy=1/(2√y)。
公式：x=√y, dx/dy=1/(2√y)
提示：注意单调性，确保反函数存在。
步骤 3/3
目标：应用随机变量函数的密度公式
f_Y(y)=f_X(√y)·|dx/dy| = (1/2)·(1/(2√y)) = 1/(4√y)，0
公式：f_Y(y)=f_X(h(y))·|h'(y)|
提示：公式中绝对值确保密度非负。
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