kaoyan3basic 概率论与数理统计 第439题
📝 题目
### 第439题 439 设随机变量 $X_{1}$ 服从分布 $B(2, p)$ ，随机变量 $X_{2}$ 服从分布 $B(3, p)$ 。已知 $\displaystyle P\left\{X_{1} \geqslant 1\right\}= \frac{5}{9}$ ，则 $P\left\{X_{2} \geqslant 1\right\}=$ $\_\_\_\_$。 □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{19}{27}$ **解析**：步骤1：$X_1\sim B(2,p)$，$\displaystyle P\{X_1\geqslant1\}=1-(1-p)^2=\frac{5}{9}$，得$\displaystyle (1-p)^2=\frac{4}{9}$，$\displaystyle 1-p=\frac{2}{3}$，$\displaystyle p=\frac{1}{3}$。步骤2：$X_2\sim B(3,p)$，$\displaystyle P\{X_2\geqslant1\}=1-(1-p)^3=1-\left(\frac{2}{3}\right)^3=1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：根据X1的分布和已知概率求参数p
X1服从二项分布B(2,p)，则P{X1≥1}=1-P{X1=0}=1-(1-p)^2=5/9，解得(1-p)^2=4/9，1-p=2/3，p=1/3。
公式：P{X1≥1}=1-(1-p)^2
提示：注意二项分布概率公式P{X=k}=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}，这里k=0时C(2,0)=1。
步骤 2/2
目标：利用p计算X2≥1的概率
X2服从二项分布B(3,p)，p=1/3，则P{X2≥1}=1-P{X2=0}=1-(1-p)^3=1-(2/3)^3=1-8/27=19/27。
公式：P{X2≥1}=1-(1-p)^3
提示：计算(2/3)^3=8/27，注意分数运算。
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