kaoyan3basic 概率论与数理统计 第438题
📝 题目
### 第438题 438 设袋中有黑，白球各 1 个，从中有放回地取球，每次取 1 个，直到二种颜色球都取到时停止，则取球次数恰好为 3 的概率为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{4}$ **解析**：步骤1：有放回取球，每次取黑或白概率各$\displaystyle \frac{1}{2}$。取球次数恰好为3，即前两次同色，第三次异色。步骤2：前两次同色有两种情况：全白或全黑，概率各$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$，总概率$\displaystyle \frac{1}{2}$。步骤3：第三次取异色概率$\displaystyle \frac{1}{2}$，总概率$\displaystyle \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定事件条件
有放回取球，每次取黑或白概率各1/2。取球次数恰好为3，即前两次同色，第三次异色。
提示：注意“直到二种颜色球都取到时停止”意味着停止时两种颜色均已出现。
步骤 2/4
目标：计算前两次同色的概率
前两次同色有两种情况：全白或全黑，每种概率为(1/2)^2=1/4，总概率为1/4+1/4=1/2。
公式：P(前两次同色)=2×(1/2)^2=1/2
步骤 3/4
目标：计算第三次取异色的概率
第三次取与前面颜色不同的球，概率为1/2。
公式：P(第三次异色)=1/2
步骤 4/4
目标：计算总概率
总概率为前两步概率相乘：1/2 × 1/2 = 1/4。
公式：P=1/2×1/2=1/4
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