kaoyan3basic 概率论与数理统计 第9题
📝 题目
### 第9题 9．设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \mu ; \sigma^{2}, \sigma^{2} ; 0\right)$ ，则 $E\left(X Y^{2}\right)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\mu(\mu^2+\sigma^2)$ **解析**：步骤1：由$(X,Y)\sim N(\mu,\mu;\sigma^2,\sigma^2;0)$，知$X$与$Y$独立，且$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$Y\sim N(\mu,\sigma^2)$。 步骤2：$E(XY^2)=E(X)E(Y^2)=\mu \cdot (D(Y)+[E(Y)]^2)=\mu(\sigma^2+\mu^2)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定X与Y的分布及独立性
由二维正态分布的性质，若相关系数为0，则X与Y独立。已知(X,Y)~N(μ,μ;σ^2,σ^2;0)，所以X与Y独立，且X~N(μ,σ^2)，Y~N(μ,σ^2)。
提示：相关系数为0是独立性的充分条件，仅适用于正态分布。
步骤 2/2
目标：计算E(XY^2)
由于X与Y独立，有E(XY^2)=E(X)E(Y^2)。E(X)=μ。E(Y^2)=D(Y)+[E(Y)]^2=σ^2+μ^2。因此E(XY^2)=μ(μ^2+σ^2)。
公式：E(XY^2)=E(X)E(Y^2); E(Y^2)=D(Y)+[E(Y)]^2
提示：独立时乘积的期望等于期望的乘积。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。