kaoyan3basic 概率论与数理统计 第10题
📝 题目
### 第10题 10．设总体 $X$ 服从参数 $\lambda=1$ 的泊松分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自 $X$ 的简单随机样本，且 $\displaystyle E\left[\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]=\frac{9 n}{10}$ ，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ． 答案见答案冊第172页
💡 答案解析
**答案**：$10$ **解析**：步骤1：总体$X\sim P(1)$，则$E(X)=1$，$D(X)=1$。 步骤2：样本方差$\displaystyle S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2$，有$E(S^2)=1$，故$E\left[\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\right] = (n-1)\times 1 = n-1$。 步骤3：由已知$\displaystyle n-1 = \frac{9n}{10}$，解得$n=10$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定总体分布参数
总体X服从参数λ=1的泊松分布，因此E(X)=1，D(X)=1。
公式：E(X)=λ=1, D(X)=λ=1
提示：泊松分布的期望和方差都等于参数λ。
步骤 2/3
目标：利用样本方差期望公式
样本方差S^2 = (1/(n-1))∑(X_i - X̄)^2，且E(S^2)=D(X)=1。因此E[∑(X_i - X̄)^2] = (n-1)E(S^2) = n-1。
公式：E(S^2)=D(X)=1, E[∑(X_i - X̄)^2]=(n-1)E(S^2)=n-1
提示：样本方差是总体方差的无偏估计。
步骤 3/3
目标：建立方程求解n
由已知E[∑(X_i - X̄)^2] = 9n/10，得到n-1 = 9n/10，解得n=10。
公式：n-1 = 9n/10 ⇒ n=10
提示：解一元一次方程即可。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。