kaoyan3basic 概率论与数理统计 第485题
📝 题目
### 第485题 485 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma_{0}^{2}\right)$ 的简单随机样本，其中 $\sigma_{0}^{2}$ 已知，$\mu$ 未知，则参数 $\mu$ 的最大似然估计 $\hat{\mu}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ **解析**： 步骤1：总体$X\sim N(\mu,\sigma_0^2)$，概率密度函数为$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_0}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma_0^2}}$。 步骤2：似然函数$\displaystyle L(\mu)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_0}e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma_0^2}}$，取对数得$\displaystyle \ln L=-\frac{n}{2}\ln(2\pi)-n\ln\sigma_0-\frac{1}{2\sigma_0^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2$。 步骤3：对$\mu$求导得$\displaystyle \frac{d\ln L}{d\mu}=\frac{1}{\sigma_0^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)=0$，解得$\displaystyle \mu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$，故$\hat{\mu}=\bar{X}$。 **难度**：★☆☆☆☆