kaoyan3basic 概率论与数理统计 第489题
📝 题目
### 第489题 489 已知 $A, B$ 为随机事件， $0
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$P(\bar{A}\mid B)=P(B\mid\bar{A})$等价于$\displaystyle \frac{P(\bar{A}B)}{P(B)}=\frac{P(B\bar{A})}{P(\bar{A})}$，即$\displaystyle \frac{P(\bar{A}B)}{P(B)}=\frac{P(\bar{A}B)}{P(\bar{A})}$。 步骤2：若$P(\bar{A}B)>0$，则$\displaystyle \frac{1}{P(B)}=\frac{1}{P(\bar{A})}$，即$P(B)=P(\bar{A})$，不必然。更一般地，该式等价于$P(\bar{A}B)=0$或$P(B)=P(\bar{A})$。 步骤3：选项B：$P(A\mid B)=P(A\mid\bar{B})$等价于$\displaystyle \frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A\bar{B})}{P(\bar{B})}$，即$P(AB)P(\bar{B})=P(A\bar{B})P(B)$，可推出$P(A)=P(A\mid B)$，即$A$与$B$独立，从而$P(\bar{A}\mid B)=P(\bar{A})=P(B\mid\bar{A})$成立。故B正确。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将条件概率转化为概率表达式
由条件概率公式，P(Ā|B) = P(ĀB)/P(B)，P(B|Ā) = P(BĀ)/P(Ā)。由于P(ĀB)=P(BĀ)，所以条件等价于P(ĀB)/P(B) = P(ĀB)/P(Ā)。
公式：P(Ā|B) = P(ĀB)/P(B)，P(B|Ā) = P(BĀ)/P(Ā)
提示：注意事件交的交换律
步骤 2/3
目标：分析等式成立的条件
若P(ĀB)>0，则两边除以P(ĀB)得1/P(B)=1/P(Ā)，即P(B)=P(Ā)；若P(ĀB)=0，则等式成立。因此充要条件是P(ĀB)=0或P(B)=P(Ā)。
公式：P(ĀB)/P(B) = P(ĀB)/P(Ā) ⇒ P(ĀB)=0 或 P(B)=P(Ā)
提示：注意分情况讨论
步骤 3/3
目标：验证选项B是充要条件
选项B：P(A|B)=P(A|Ē)等价于P(AB)/P(B)=P(AĒ)/P(Ē)，即P(AB)P(Ē)=P(AĒ)P(B)。利用P(A)=P(AB)+P(AĒ)可推出P(AB)=P(A)P(B)，即A与B独立。独立时P(Ā|B)=P(Ā)，P(B|Ā)=P(B)，且由P(B)=P(Ā)或P(ĀB)=0可推出条件成立。反之，若原条件成立，可推出A与B独立，从而选项B成立。
公式：P(AB)P(Ē)=P(AĒ)P(B) ⇒ P(AB)=P(A)P(B)
提示：利用概率的加法公式
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。