kaoyan3basic 概率论与数理统计 第490题
📝 题目
### 第490题 490 设事件 $A, B, C$ 两两独立，则 $A, B, C$ 相互独立的充分必要条件是 （A）$A \cup B$ 和 $B \cup C$ 独立． （B）$A-B$ 和 $B-C$ 独立． （C）$A B$ 和 $\bar{B} \cup \bar{C}$ 独立． （D）$A$ 和 $\bar{B} \cup \bar{C}$ 独立．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$A,B,C$两两独立，相互独立需$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$。 步骤2：选项D：$A$与$\bar{B}\cup\bar{C}$独立，即$P(A(\bar{B}\cup\bar{C}))=P(A)P(\bar{B}\cup\bar{C})$，等价于$P(A\bar{B}\cup A\bar{C})=P(A)(1-P(BC))$，利用两两独立可推出$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：明确相互独立的条件
事件A,B,C相互独立需要满足：两两独立且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。已知A,B,C两两独立，因此只需验证P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。
公式：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
提示：两两独立是相互独立的必要条件，但不充分。
步骤 2/3
目标：分析选项D
选项D：A与\bar{B}\cup\bar{C}独立，即P(A(\bar{B}\cup\bar{C}))=P(A)P(\bar{B}\cup\bar{C})。左边=P(A\bar{B}\cup A\bar{C})=P(A\bar{B})+P(A\bar{C})-P(A\bar{B}\bar{C})。利用两两独立，P(A\bar{B})=P(A)P(\bar{B})，P(A\bar{C})=P(A)P(\bar{C})，P(A\bar{B}\bar{C})=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)。右边=P(A)(1-P(BC))=P(A)-P(A)P(BC)。代入并化简可得P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。
公式：P(A(\bar{B}\cup\bar{C}))=P(A)P(\bar{B}\cup\bar{C})
提示：注意利用德摩根律和概率的加法公式。
步骤 3/3
目标：验证其他选项不充分
选项A、B、C均不能推出P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，可通过反例排除。例如，构造一个两两独立但不相互独立的事件组，检验各选项是否成立。
提示：反例通常使用等可能概型，如抛掷两枚硬币。
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