kaoyan3basic 概率论与数理统计 第493题
📝 题目
### 第493题 493 设 $A, B$ 为随机事件，$P(B)>0$ ，则 （A）$P(A \cup B) \geqslant P(A)+P(B)$ ． （B）$P(A-B) \geqslant P(A)-P(B)$ ． （C）$P(A B) \geqslant P(A) P(B)$ ． （D）$\displaystyle P(A \mid B) \geqslant \frac{P(A)}{P(B)}$ ． 494 设随机事件 $A, B, C$ 两两独立，$A B C=\varnothing$ ，且 $\displaystyle P(A)=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{4}, P(A \cup B \cup C)=\frac{7}{12}$ ，则 $P(C)$ 的值为
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$P(A-B)=P(A)-P(AB)$，而$P(A)-P(B)\leq P(A)-P(AB)$，因为$P(AB)\leq P(B)$，故$P(A-B)\geq P(A)-P(B)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析选项A
由概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，由于P(AB)≥0，故P(A∪B)≤P(A)+P(B)，因此选项A错误。
公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
提示：注意加法公式中减去P(AB)导致不等式方向。
步骤 2/4
目标：分析选项B
由概率的减法公式，P(A-B)=P(A)-P(AB)。由于P(AB)≤P(B)，所以P(A)-P(AB)≥P(A)-P(B)，即P(A-B)≥P(A)-P(B)，因此选项B正确。
公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); P(AB)≤P(B)
提示：利用P(AB)≤P(B)推导不等式。
步骤 3/4
目标：分析选项C
反例：取A=B，且P(A)=0.5，则P(AB)=0.5，P(A)P(B)=0.25，此时P(AB)≥P(A)P(B)成立；但若A与B互斥，P(AB)=0，而P(A)P(B)>0，则P(AB)
提示：考虑互斥事件的反例。
步骤 4/4
目标：分析选项D
由条件概率定义，P(A|B)=P(AB)/P(B)。由于P(AB)≤P(A)，所以P(A|B)≤P(A)/P(B)，因此选项D错误。
公式：P(A|B)=P(AB)/P(B); P(AB)≤P(A)
提示：注意不等式方向。
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