kaoyan3basic 概率论与数理统计 第498题
📝 题目
### 第498题 498 设随机变量 $X$ 在 $[0,1]$ 上服从均匀分布，记事件 $\displaystyle A=\left\{0 \leqslant X \leqslant \frac{1}{2}\right\}, B= \left\{\frac{1}{4} \leqslant X \leqslant \frac{3}{4}\right\}$ ，则 （A）$A$ 与 $B$ 互斥，但不对立． （B）$B$ 包含 $A$ ． （C）$A$ 与 $B$ 对立． （D）$A$ 与 $B$ 相互独立．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$X\sim U[0,1]$，$\displaystyle P(A)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P(AB)=P(\frac{1}{4}\leq X\leq\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$。 步骤2：$\displaystyle P(AB)=\frac{1}{4}=P(A)P(B)$，故$A$与$B$相互独立。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算事件A和B的概率
由于X服从[0,1]上的均匀分布，概率密度函数为f(x)=1，因此P(A)=长度(0≤X≤1/2)=1/2，P(B)=长度(1/4≤X≤3/4)=1/2。
公式：P(A)=1/2, P(B)=1/2
提示：均匀分布的概率等于区间长度除以总长度。
步骤 2/3
目标：计算事件A与B的交集概率
A∩B对应X满足0≤X≤1/2且1/4≤X≤3/4，即1/4≤X≤1/2，区间长度为1/4，故P(AB)=1/4。
公式：P(AB)=1/4
提示：交集区间取两个区间的重叠部分。
步骤 3/3
目标：判断独立性
计算P(A)P(B)=1/2 * 1/2 = 1/4，等于P(AB)=1/4，因此A与B相互独立。
公式：P(AB)=P(A)P(B)
提示：若P(AB)=P(A)P(B)，则事件独立。
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