kaoyan3basic 概率论与数理统计 第499题
📝 题目
### 第499题 499 假设随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 是偶函数，其分布函数为 $F(x)$ ，则 （A）$F(x)$ 是偶函数． （B）$F(x)$ 是奇函数． （C）$F(x)+F(-x)=1$ ． （D） $2 F(x)-F(-x)=1$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$f(x)$为偶函数，则$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，$F(-x)=\int_{-\infty}^{-x}f(t)dt$。 步骤2：$F(x)+F(-x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt+\int_{-\infty}^{-x}f(t)dt$，令$u=-t$，则$\int_{-\infty}^{-x}f(t)dt=\int_{x}^{\infty}f(-u)du=\int_{x}^{\infty}f(u)du$，故$F(x)+F(-x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用偶函数性质改写分布函数
由于f(x)是偶函数，即f(-x)=f(x)。分布函数F(x)=∫_{-∞}^{x} f(t)dt，F(-x)=∫_{-∞}^{-x} f(t)dt。
公式：F(x)=∫_{-∞}^{x} f(t)dt, F(-x)=∫_{-∞}^{-x} f(t)dt
提示：注意积分上下限的变化
步骤 2/3
目标：计算F(x)+F(-x)
F(x)+F(-x)=∫_{-∞}^{x} f(t)dt + ∫_{-∞}^{-x} f(t)dt。对第二个积分作变量代换u=-t，则当t=-x时u=x，t=-∞时u=+∞，dt=-du，所以∫_{-∞}^{-x} f(t)dt = ∫_{+∞}^{x} f(-u)(-du) = ∫_{x}^{+∞} f(-u)du。由偶函数性质f(-u)=f(u)，故∫_{x}^{+∞} f(u)du。因此F(x)+F(-x)=∫_{-∞}^{x} f(t)dt + ∫_{x}^{+∞} f(u)du = ∫_{-∞}^{+∞} f(t)dt = 1。
公式：∫_{-∞}^{-x} f(t)dt = ∫_{x}^{+∞} f(u)du, ∫_{-∞}^{+∞} f(t)dt=1
提示：变量代换时注意积分限的变化和偶函数性质
步骤 3/3
目标：得出结论
由F(x)+F(-x)=1，可知选项C正确。
公式：F(x)+F(-x)=1
提示：检查其他选项是否满足
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