kaoyan3basic 概率论与数理统计 第500题
📝 题目
### 第500题 500 假设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，概率密度函数 $f(x)=a f_{1}(x)+b f_{2}(x)$ ，其中 $f_{1}(x)$ 是正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的概率密度函数，$f_{2}(x)$ 是参数为 $\lambda$ 的指数分布的概率密度函数，已知 $\displaystyle F(0)=\frac{1}{8}$ ，则 （A）$a=1, b=0$ ． （B）$\displaystyle a=\frac{3}{4}, b=\frac{1}{4}$ ． （C）$\displaystyle a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{2}$ ． （D）$\displaystyle a=\frac{1}{4}, b=\frac{3}{4}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：由概率密度函数的归一性，$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = a \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x) dx + b \int_{-\infty}^{+\infty} f_2(x) dx = a + b = 1$。 步骤2：计算$F(0)=\int_{-\infty}^{0} f(x) dx = a \int_{-\infty}^{0} f_1(x) dx + b \int_{-\infty}^{0} f_2(x) dx$。由于$f_1(x)$是$N(0,\sigma^2)$的密度，对称性得$\displaystyle \int_{-\infty}^{0} f_1(x) dx = \frac{1}{2}$；$f_2(x)$是指数分布密度，$\int_{-\infty}^{0} f_2(x) dx = 0$。故$\displaystyle F(0)=a \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$，解得$\displaystyle a=\frac{1}{4}$。 步骤3：代入$a+b=1$得$\displaystyle b=\frac{3}{4}$。 **难度**：★★☆☆☆