kaoyan3basic 概率论与数理统计 第503题
📝 题目
### 第503题 503 设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则可以作出分布函数 （A）$F(a x)$ ． （B）$F\left(x^{2}+1\right)$ ． （C）$F\left(x^{3}-1\right)$ ． （D）$F(|x|)$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：分布函数需满足单调不减、右连续、值域$[0,1]$且$\lim_{x \to -\infty}F(x)=0$，$\lim_{x \to +\infty}F(x)=1$。 步骤2：对于A，$F(ax)$，当$a<0$时，单调性反转，不满足。 步骤3：对于B，$F(x^2+1)$，当$x$从负到正时，$x^2+1$先减后增，导致函数不单调。 步骤4：对于C，$F(x^3-1)$，$x^3-1$严格单调递增，且值域覆盖整个实数，故复合后仍满足分布函数性质。 步骤5：对于D，$F(|x|)$，当$x<0$时，$|x|$递减，导致函数不单调。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾分布函数的性质
分布函数F(x)必须满足：单调不减、右连续、值域[0,1]，且当x→-∞时F(x)→0，x→+∞时F(x)→1。
提示：注意单调性和极限条件。
步骤 2/5
目标：分析选项A
对于F(ax)，若a<0，则ax随x增大而减小，导致F(ax)单调递减，不满足单调不减性。
提示：考虑a的正负影响。
步骤 3/5
目标：分析选项B
对于F(x^2+1)，x^2+1在x<0时递减，x>0时递增，整体非单调，故F(x^2+1)不单调。
提示：内层函数单调性影响复合函数。
步骤 4/5
目标：分析选项C
对于F(x^3-1)，x^3-1是严格单调递增的连续函数，值域为R，且当x→-∞时x^3-1→-∞，x→+∞时x^3-1→+∞，因此复合后满足分布函数所有性质。
提示：严格单调递增且值域为R的内层函数保持分布函数性质。
步骤 5/5
目标：分析选项D
对于F(|x|)，当x<0时|x|递减，导致F(|x|)单调递减，不满足单调不减性。
提示：绝对值函数在负半轴递减。
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