kaoyan3basic 概率论与数理统计 第504题
📝 题目
### 第504题 504 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$ ，则可以作出概率密度函数 （A）$f(2 x)$ ． （B）$f(2-x)$ ． （C）$f^{2}(x)$ ． （D）$f\left(x^{2}\right)$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：概率密度函数需满足非负且积分为1。 步骤2：对于A，$f(2x)$，积分$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(2x) dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u) du = \frac{1}{2} \neq 1$，除非调整系数。 步骤3：对于B，$f(2-x)$，积分$\int_{-\infty}^{+\infty} f(2-x) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f(u) du = 1$，且非负，故是概率密度。 步骤4：对于C，$f^2(x)$，积分不一定为1，且可能不满足归一化。 步骤5：对于D，$f(x^2)$，积分无法保证为1，且变换后定义域变化。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解概率密度函数的条件
概率密度函数必须满足非负性且在整个实数轴上的积分为1。
公式：f(x) ≥ 0, ∫_{-∞}^{+∞} f(x) dx = 1
步骤 2/5
目标：检查选项A：f(2x)
计算∫_{-∞}^{+∞} f(2x) dx。令u=2x，则dx=du/2，积分变为(1/2)∫_{-∞}^{+∞} f(u) du = 1/2 ≠ 1，除非乘以系数2，否则不是概率密度。
公式：∫_{-∞}^{+∞} f(2x) dx = 1/2
提示：注意变量替换后积分值变化。
步骤 3/5
目标：检查选项B：f(2-x)
计算∫_{-∞}^{+∞} f(2-x) dx。令u=2-x，则dx=-du，积分变为∫_{-∞}^{+∞} f(u) du = 1，且非负性保持，因此是概率密度函数。
公式：∫_{-∞}^{+∞} f(2-x) dx = 1
提示：变量替换时注意积分限变化，但最终积分值为1。
步骤 4/5
目标：检查选项C：f^2(x)
f^2(x)非负，但∫_{-∞}^{+∞} f^2(x) dx不一定等于1，通常不等于1，除非f(x)特殊，因此一般不是概率密度。
公式：∫ f^2(x) dx ≠ 1 通常
提示：平方后归一化条件不满足。
步骤 5/5
目标：检查选项D：f(x^2)
f(x^2)非负，但∫_{-∞}^{+∞} f(x^2) dx，令u=x^2，则x=±√u，积分变为∫_{0}^{+∞} f(u) (1/√u) du，一般不等于1，且定义域变化，不是概率密度。
公式：∫_{-∞}^{+∞} f(x^2) dx = ∫_{0}^{+∞} f(u) u^{-1/2} du
提示：注意变换后积分形式复杂，通常不满足归一化。
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