kaoyan3basic 概率论与数理统计 第507题
📝 题目
### 第507题 507 连续型随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}a+b \mathrm{e}^{-x}, & x \geqslant 0 \\ 0, & x<0\end{array}\right.$ ，则其中的常数 $a$ 和 $b$ 为 （A）$\left\{\begin{array}{l}a=1, \\ b=1 .\end{array}\right.$ （B）$\left\{\begin{array}{l}a=1, \\ b=-1 .\end{array}\right.$ （C）$\left\{\begin{array}{l}a=-1, \\ b=1 .\end{array}\right.$ （D）$\left\{\begin{array}{l}a=0, \\ b=1 .\end{array}\right.$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由$F(+\infty)=1$得$\lim_{x \to +\infty} (a+b e^{-x}) = a = 1$。 步骤2：由右连续性，$F(0)=\lim_{x \to 0^+} (a+b e^{-x}) = a+b = 0$（因为$x<0$时$F(x)=0$，且$F$在0处右连续，但注意$F(0)$由定义应为0？实际上，连续型随机变量分布函数连续，故$F(0)=0$，即$a+b=0$。 步骤3：解得$a=1$，$b=-1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用分布函数的性质确定常数a和b
由分布函数的性质：F(+∞)=1，且分布函数右连续。首先，当x→+∞时，F(x)=a+be^{-x}→a=1。其次，由于分布函数在x=0处右连续，且x<0时F(x)=0，故F(0)=lim_{x→0^+}F(x)=a+b=0。解得a=1，b=-1。
公式：F(+∞)=1，F(0)=0
提示：注意连续型随机变量的分布函数是连续的，因此F(0)=0。
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