kaoyan3basic 概率论与数理统计 第508题
📝 题目
### 第508题 508 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{-x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $P\{X \leqslant 2 \mid X \geqslant 1\}$ 的值为 （A） $\mathrm{e}^{-2}$ ． （B）$-\mathrm{e}^{-2}$ ． （C） $\mathrm{e}^{-1}$ ． （D） $1-\mathrm{e}^{-1}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$\displaystyle P\{X \leqslant 2 \mid X \geqslant 1\} = \frac{P\{1 \leqslant X \leqslant 2\}}{P\{X \geqslant 1\}}$。 步骤2：$P\{1 \leqslant X \leqslant 2\} = \int_1^2 e^{-x} dx = -e^{-x}\big|_1^2 = e^{-1} - e^{-2}$。 步骤3：$P\{X \geqslant 1\} = \int_1^{+\infty} e^{-x} dx = e^{-1}$。 步骤4：比值$\displaystyle = \frac{e^{-1} - e^{-2}}{e^{-1}} = 1 - e^{-1}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出条件概率公式
根据条件概率定义，$P\{X \leqslant 2 \mid X \geqslant 1\} = \frac{P\{1 \leqslant X \leqslant 2\}}{P\{X \geqslant 1\}}$。
公式：$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$
提示：注意事件$\{X \leqslant 2\}$与$\{X \geqslant 1\}$的交集为$\{1 \leqslant X \leqslant 2\}$。
步骤 2/4
目标：计算分子$P\{1 \leqslant X \leqslant 2\}$
由概率密度函数，$P\{1 \leqslant X \leqslant 2\} = \int_1^2 e^{-x} dx = -e^{-x}\big|_1^2 = e^{-1} - e^{-2}$。
公式：$P(a \leqslant X \leqslant b) = \int_a^b f(x) dx$
提示：积分时注意$e^{-x}$的原函数是$-e^{-x}$。
步骤 3/4
目标：计算分母$P\{X \geqslant 1\}$
$P\{X \geqslant 1\} = \int_1^{+\infty} e^{-x} dx = \lim_{t \to +\infty} (-e^{-x})\big|_1^t = e^{-1}$。
公式：$P(X \geqslant a) = \int_a^{+\infty} f(x) dx$
提示：注意$\lim_{t \to +\infty} e^{-t} = 0$。
步骤 4/4
目标：计算比值
代入分子分母：$\frac{e^{-1} - e^{-2}}{e^{-1}} = 1 - e^{-1}$。
提示：化简时分子分母同除以$e^{-1}$。
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